期货期权二叉树是一种期权定价模型，它假设标的资产的价格在未来一段时期内将遵循二叉树的路径。二叉树模型可以用于定价看涨期权和看跌期权。将重点介绍使用二叉树模型定价看跌期权的公式。

二叉树结构

二叉树是一种数据结构，其中每个节点有两个子节点。在期权定价中，二叉树用来表示标的资产价格在未来不同时间点的可能路径。

在二叉树的每个时间步长，标的资产的价格可以上升或下降。上升的幅度称为上涨因子 (u)，下降的幅度称为下跌因子 (d)。

风险中性概率

二叉树模型中，标的资产价格上升和下降的概率必须满足风险中性条件。这意味着在风险中性世界中，不持有该资产或持有该资产的组合头寸没有风险溢价。

风险中性概率由以下公式计算：

p = (1 - exp(-rf t)) / (u - d)

其中：

• p 是标的资产价格上升的风险中性概率
• rf 是无风险利率
• t 是时间步长长

看跌期权定价公式

使用二叉树定价看跌期权的公式为：

V(t) = max(0, K - S(t))

其中：

• V(t) 是在时间 t 处的看跌期权价值
• K 是看跌期权的执行价格
• S(t) 是标的资产在时间 t 处的价格

递归计算

自上而下地确定二叉树中每个节点的期权价值，可以递归计算看跌期权的价值。对于每个节点，公式如下：

V(t) = exp(-rf t) [p V(t + 1, u S(t)) + (1 - p) V(t + 1, d S(t))]

其中：

• V(t + 1, u S(t)) 和 V(t + 1, d S(t)) 是在下一次时间步长持有该看跌期权的价值，前提是标的资产价格分别上涨或下跌。

实例

让我们考虑一个到期日为 6 个月、执行价格为 100 美元的看跌期权。假设标的资产的现价为 110 美元，无风险利率为 5%，上涨因子为 1.1，下跌因子为 0.9。

步骤 1：计算风险中性概率

p = (1 - exp(-0.05 0.5)) / (1.1 - 0.9) = 0.5208

步骤 2：构造二叉树

构造一个 5 层的二叉树，如下图所示：

110
/ \ | \
121 99 | 109
/ \ | \ / \
133 110 | 99 89
/ \ | \ | / \
146 121 | 110 80 | 79

步骤 3：递归计算

从最底层的节点开始，使用递归公式计算每个节点的期权价值：

• V(5, 79) = max(0, 100 - 79) = 21
• V(5, 80) = max(0, 100 - 80) = 20
• V(5, 89) = max(0, 100 - 89) = 11
• V(5, 99) = max(0, 100 - 99) = 1
• V(5, 110) = max(0, 100 - 110) = 0
• ...
• V(0, 110) = 9.25

在现价为 110 美元时的看跌期权价值为 9.25 美元。

局限性

二叉树模型是一种相对简单的期权定价模型，但它有一些局限性：

• 离散性：二叉树模型假定标的资产的价格在每个时间步长内只能上升或下降。这可能会导致定价误差。
• 有限路径数：二叉树模型只考虑有限数量的价格路径，而现实世界中的价格路径可能是无限的。
• 流动性假设：二叉树模型假设市场流动性完美。这在实际情况下并不总是成立。

尽管有这些局限性，二叉树模型仍然是一种有价值的工具，它可以提供期权价值的合理近似。